r = 4ax $\frac{1}{1+e^x}$cosecθ cotθ পোলার সমীকরণটিকে কার্তেসীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করলে কোনটি হবে?

কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক হলো বিভিন্ন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে অবস্থান নির্দেশ করার একটি উপায়। এই দুই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian Coordinates)

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে (Cartesian Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে \( (x, y) \) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

• \( x \): \( x \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব
• \( y \): \( y \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব

পোলার স্থানাঙ্ক (Polar Coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে (Polar Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে \( (r, \theta) \) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

• \( r \): বিন্দুটি মূলবিন্দু (Origin) থেকে কত দূরে আছে (ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব)
• \( \theta \): \( x \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর অবস্থানের কোণ

কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) থেকে পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)
\]
এখানে \( r \) হল ব্যাসার্ধ এবং \( \theta \) হল কোণ।

পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর

পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
x = r \cos \theta
\]
\[
y = r \sin \theta
\]
এখানে \( r \) হল মূলবিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এবং \( \theta \) হল কোণ।

উদাহরণ

যদি একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (3, 4) \) হয়, তাহলে আমরা পোলার স্থানাঙ্কে এটি বের করতে পারি:

1. \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
2. \( \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ \) বা \( 0.93 \) রেডিয়ান

অতএব, পোলার স্থানাঙ্ক \( (5, 53.13^\circ) \) বা \( (5, 0.93) \)।

এইভাবে কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে রূপান্তর করতে এই সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়।